在数学分析中，泰勒展开是一种将函数表示为无穷级数的方法，它可以帮助我们更好地理解函数的行为，并在许多实际问题中提供近似解。以下是几个常用函数的泰勒展开公式：
1. 指数函数 \( e^x \)
\( e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} \)
这个公式在 \( x=0 \) 处展开，即麦克劳林级数。
2. 正弦函数 \( \sin(x) \)
\( \sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \)
同样，这也是一个麦克劳林级数。
3. 余弦函数 \( \cos(x) \)
\( \cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} \)
这也是在 \( x=0 \) 处的展开。
4. 对数函数 \( \ln(1+x) \)
\( \ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} \frac{x^n}{n} \)
这个级数仅在 \( |x| < 1 \) 时收敛。
5. 幂函数 \( (1+x)^k \)
\( (1+x)^k = 1 + kx + \frac{k(k-1)}{2!}x^2 + \frac{k(k-1)(k-2)}{3!}x^3 + \cdots \)
当 \( k \) 是正整数时，这个级数会终止；否则，它是一个无穷级数。
这些泰勒展开公式在微积分、物理学和工程学等领域有着广泛的应用。通过这些展开式，我们可以更容易地计算复杂的函数值，并且能够更深入地研究函数的性质。